Xét hai phạm trù C và D. Một hàm tử F từ C đến D là một phép tương ứng[1]

• gán với mỗi đối tượng X {\displaystyle X} của C một đối tượng F ( X ) {\displaystyle F(X)} của D,
• gán với mỗi cấu xạ f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} của C một cấu xạ F ( f ) : F ( X ) → F ( Y ) {\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)} của D sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:
  • F ( i d X ) = i d F ( X ) {\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!} với mọi đối tượng X {\displaystyle X} của C (dấu bằng được lấy trong tập hợp H o m D ( F ( X ) , F ( X ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(F(X),F(X))} )
  • F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) {\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)} cho tất cả các hình thái f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y\,\!} và g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} trong C (dấu bằng được lấy trong tập hợp H o m D ( F ( X ) , F ( Z ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(F(X),F(Z))} ).

Một hàm tử như vậy cũng được gọi là hàm tử hiệp biến.

Hàm tử phản biến

Một hàm tử phản biến từ C đến D là một phép tương ứng

• gán với mỗi đối tượng X {\displaystyle X} của C một đối tượng F ( X ) {\displaystyle F(X)} của D,
• gán với mỗi cấu xạ f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} của C một cấu xạ F ( f ) : F ( Y ) → F ( X ) {\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)} của D sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:
  • F ( i d X ) = i d F ( X ) {\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!} với mọi đối tượng X {\displaystyle X} của C (dấu bằng được lấy trong tập hợp H o m D ( F ( X ) , F ( X ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(F(X),F(X))} )
  • F ( g ∘ f ) = F ( f ) ∘ F ( g ) {\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)} cho tất cả các hình thái f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y\,\!} và g : Y → Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} trong C (dấu bằng được lấy trong tập hợp H o m D ( F ( Z ) , F ( X ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(F(Z),F(X))} ).

Lưu ý rằng hàm tử phản biến đảo chiều phép hợp.